Com s'estudia un prisma pentagonal? explicació detallada

És una figura geomètrica tridimensional que està composta per dos polígons paral·lels iguals com a bases i cares laterals que són paral·lelograms. Reben un nom específic segons la quantitat de costats que formen la seva base. Així tenim, per exemple, que si les seves bases tenen tres costats serà un prisma triangular, quatre costats rectangulars, cinc costats pentagonals, etc.

El tema que ens ocupa és específicament tot el referent a l' prisma pentagonal, Però cal conèixer els aspectes comuns als prismes en general.

Característiques generals d'un prisma

Elements que conformen un prisma: 

• Bases Són dos polígons paral·lels i iguals que formen el pis i la tapa de l'prisma.  La quantitat dels seus costats pot ser variable i són precisament els que li donen nom i cognom a l'prisma.
• Cares laterals: són els paral·lelograms que separen la base inferior de la superior 
• Alçada: És la distància que es troba separant les dues bases. 
• arestes: Cada un dels costats dels polígons que formen les bases són cridats, arestes de la base. I cada un dels costats de les cares laterals de forma individual és anomenat, aresta lateral.
• Vèrtex: Cadascuna de les puntes on es troben les arestes es diu vèrtex.

Classificació dels prismes

Un prisma es classifica segons les propietats de les seves bases a:

• Regular:És aquell la base és un polígon que té tots els seus costats d'igual longitud i també els seus angles interns són de la mateixa mida.
• irregular: És aquell les bases estan representades per polígons de costats i angles interns diferents entre si

Segons en el nombre de costats que tenen les seves bases es classifiquen en:

• Triangular 3 costats
• Quadrangular 4 costats
• Pentagonal 5 costats
• Hexagonal 6 costats
• Heptagonal 7 costats
• Octogonal 8 costats
• Eneágono o nonágono 9 costats
• Decàgon 10 costats ..., i així successivament.

Segons les seves cares laterals estan classificats en:

 

• Prisma recte: És el que té tantes cares laterals com tingui la seva base, són rectangulars i paral·leles a aquesta.

 

• oblics: Un prisma oblic no posseeix perpendicularitat en les seves cares laterals respecte a la seva base. Les seves cares laterals són romboides. Tenen com a característica particular que la seva alçada no coincideix amb el valor de les seves arestes laterals.

Segons els seus angles interns es classifiquen en

còncaus: Un prisma es pot classificar com còncau quan els seus angles interns són majors a 180 °. A causa de la seva forma irregular, que dóna la visió d'una esquerda cap a dins de l'prisma, si el travessem amb una recta pot ser tallat en més d'un punt.

convexos: Un prisma és convex quan els seus angles interns mesuren menys de 180 ° i d'altra banda hem de a l'travessar-amb una recta només es talla en dos únics punts.

prisma pentagonal

Ara sí, estem preparats per conèixer més detalladament a l'prisma pentagonal. Ja identificades les característiques comunes a tot prisma, aprofundirem específicament en el Prisma Pentagonal. Un prisma pentagonal és aquell les bases són pentàgons iguals i paral·lels-cinc paral·lelograms que formen les seves cares laterals.

Característiques

El prisma pentagonal posseeix les següents característiques:

• Bases. Té dos pentàgons paral·lels i iguals.
• cares. Presenta cinc cares laterals més les dues bases, en total són set cares,
• Alçada. És la distància compresa entre les dues bases.
• Vèrtex. Són les puntes de l'prisma on coincideixen tres de les cares, en total són 10 vèrtexs.
• Arestes. Són els punts de trobada de dues de les cares de l'prisma, en total té 15 arestes.

 

Segons el teorema d'Euler ha una interrelació entre el nombre de cares (C), les arestes (A) i els vèrtexs de tot prisma els angles interns facin menys de 180 ° (convexos).

Aplicant la fórmula A = C + V-2 es pot trobar el nombre d'arestes d'un prisma pentagonal .: A = 7 + 10-2 = 15

Com calcular l'àrea d'un prisma pentagonal regular

Té les seves bases de pentàgons regulars i costats rectangulars iguals, llavors el càlcul de la seva àrea està donat per:

Àrea = 5. L. (ap. + H), on L és la mesura d'un dels costats de l'pentàgon, ap. (Apotema) és la distància més curta des del centre a qualsevol dels seus costats i h és l'altura de l'prisma.

Com trobar el valor de ap (apotema) d'un prisma pentagonal?

És una variable que no coneixem tan evidentment com les altres. Doncs vet aquí la fórmula matemàtica de trobar-la.

Sabent el nombre de costats (N) i la seva mesura (L), calcular en primer lloc l'angle central que es forma entre el centre de polígon i dos vèrtexs consecutius, així:

? = 360 ° / N  

Exemple: angle central d'un pentàgon? = 360 ° / 5 és igual a 72 °.

Seguidament es troba l'apotema

Dividint la mesura d'un dels costats (L) entre dues vegades la tangent de la meitat de l'angle central (?)

ap = L/2 x tang (?/2)

Exemple: tenint un prisma pentagonal els costats tenen una mesura de 20 cm i 30 centímetres d'alçada trobem la seva àrea. Ja sabem que el valor de l'angle central d'un pentàgon regular és de 72 °. Trobem la seva apotema:

Ap = 20/2 x Tang (72/2)

Ap = 20/2 x Tang (36)

Ap = 20/2 x (0.73)

Ap = 20 / 1.46

Ap = 13,69 cm.

Ara sí, comptem amb totes les dades per determinar la seva àrea:

Àrea = 5 x L x (ap + h)

5 x 20 (13,69 + 30)

100 (43,69)

Àrea = 4369 cm.

Àrea d'un prisma pentagonal irregular

Tenint en compte que un prisma pentagonal irregular té com a base dos pentàgons irregulars, cal trobar l'àrea de l'pentàgon irregular (Ab), el seu perímetre (Pb) i alçada de l'prisma per després calcular l'àrea d'el prisma.

La fórmula de l'àrea d'un prisma recte pentagonal irregular és:

Àrea de l'prisma = 2. Ab + Pb. h

L'àrea de l'pentàgon irregular base (Ab) es troba mitjançant el mètode de triangulació, Que significa dividir-lo en figures triangulars més petites per calcular-ne les àrees i així més fàcilment s'obté l'àrea total de l'pentàgon sumant totes elles.

El perímetre d'un pentàgon irregular base (Pb) es troba sumant la mesura de les seves cinc costats.

Àrea d'un prisma pentagonal oblic

La fórmula de càlcul d'àrea per a aquest tipus de prisma és diferent de la de l'prisma pentagonal recte.

L'àrea de les bases es calcula de la mateixa manera que en el recte, la diferència rau en els laterals pel fet de ser inclinats.

L'àrea d'un dels laterals d'un prisma pentagonal oblic es calcula sobre la base de la mesura d'una aresta lateral i el perímetre de la secció recta de el prisma.

La intersecció d'un pla amb el prisma a un angle de 90 ° amb cadascuna de les arestes laterals, és la secció recta de el prisma. És a dir, és la base plana que s'observa a l'dividir transversalment el prisma.

Per trobar la representació gràfica de la secció recta d'un prisma oblic qualsevol, col·locar l'esquadra recolzada en una de les seves arestes i formant un angle de 90 ° traçar una línia que arribi fins l'aresta contigua i així successivament amb les altres arestes. Un cop fet aquest procediment es pot visualitzar en el pla aquesta superfície.

Àrea = 2. Ab + PSR. a  

on  Ab és l'àrea de la base, psr és el perímetre de la secció recta de el prisma i a una aresta lateral.

Per a determinar el valor de l'perímetre de la secció recta només cal fer esquadra en una de les seves arestes a un angle de 90 °, mesurar la distància que es forma des d'aquesta aresta fins on s'intersecta amb la seva aresta paral·lela i sumar-la cinc vegades.

Volum d'un prisma pentagonal

Per calcular el volum d'un prisma pentagonal tant recte com oblic s'aplica la fórmula general per a tot tipus de prisma: multiplicar l'àrea de la base (Ab) per la mesura d'altura (h).

Volum = Ab. h

Substituint Ab per la seva fórmula pròpia hem de Volum = 5. L. ap / 2. h

Recordar que en un prisma recte la mesura d'altura és igual a la mida de l'aresta lateral mentre que en un prisma oblic l'altura de el prisma no coincideix amb la mesura de l'aresta lateral, sigui quin sigui el tipus de prisma, atent a no confondre.

Com fer un prisma pentagonal regular recte

? = 108 ° angle intern que es forma entre dos dels costats de l'pentàgon base (mesura fixa per a una figura pentagonal)

L = costat

H = alçada

Traç de la base pentagonal

Abans de començar a traçar el prisma s'han de definir les seves bases. D'una manera fàcil i no tan tècnica et explicaré com fer una figura pentagonal regular.

• traça una línia recta que et servirà de base per començar (fig. 1)
• marca la mesura que vols donar-li als costats de la teva pentàgon, línia (ab) Fig. 2
• Amb ajuda d'un transportador, parándote en el punt "a "I cap a l'esquerra busca l'angle de 108 °, traça una línia entre" a "i la intercessió amb l'angle trobat i sobre ella marca la mesura triada per als costats de l'pentàgon. (Línia ac) fig.3
• Recolza't en el punt by cap a la dreta fer el mateix procediment anterior i trobar l'altre costat (Línia bd) fig. 4
• Seguidament recolza't en el punt "c", sempre buscant un angle de 108 ° i traçar la (línia ce) fig.5
• Finalment, unir els punts ed que conformen el costat que falta. Automàticament ha de tenir l'angle de 108 °. Fig.6

Aquesta figura geomètrica té formes més tècniques i precises per a la seva traç, però aquí te la explico d'una manera senzilla utilitzant només regles i / o esquadres i un transportador.

L'èxit de la construcció del teu prisma dependrà de l'exactitud en el traç de les bases.

I l'exactitud en la construcció de la teva base pentagonal dependrà de la teva habilitat i coneixement de les eines de mesurament que et suggereixo.

Traç de el prisma

• Traçar una línia recta llarga que et servirà de base per començar el traç.
• Sobre aquesta línia marca la mesura (L) cinc vegades una a continuació de l'altra.
• Perpendicular a cada punt traça les línies verticals que representen les arestes amb la mesura de (h) alçada.
• Uneix tots els punts amb línia recta i et quedés un rectangle dividit en cinc seccions iguals i paral·leles, aquests representen cadascuna de les cares laterals de l'prisma.
• En el rectangle o cara central, o la de la teva preferència, dibuixa o afegeix la base pentagonal tant a la part superior com en la inferior. Cal que la facis primer i en base a ella tracis el prisma.
• Afegeix pestanyes per tots els costats de les cares laterals a excepció d'una elles. Aquestes pestanyes són les que et serviran per armar el prisma.
• Retalla i aplica cola a les pestanyes, remarca totes les línies per tal de donar-li una mica de trencament i tinguis més facilitat per doblar les arestes.