Es una figura geométrica tridimensional que está compuesta por dos polígonos paralelos iguales como bases y caras laterales que son paralelogramos. Reciben un nombre específico según la cantidad de lados que formen su base. Así tenemos, por ejemplo, que si sus bases tienen tres lados será un prisma triangular, cuatro lados rectangulares, cinco lados pentagonales, etc.
El tema que nos ocupa es específicamente todo lo referente al prisma pentagonal, pero es necesario conocer los aspectos comunes a los prismas en general para poder estudiarlo con seguridad, interpretar sus fórmulas y reconocerlo en ejercicios y problemas de geometría.
Características generales de un prisma
Un prisma es un tipo de poliedro, es decir, una figura tridimensional formada por un número finito de polígonos planos que actúan como caras. Todos los prismas comparten una estructura común que conviene dominar antes de analizar cualquier tipo particular (triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.).
Elementos que conforman un prisma:
- Bases Son dos polígonos paralelos e iguales que forman el piso y la tapa del prisma. La cantidad de sus lados puede ser variable y son precisamente los que le dan nombre y apellido al prisma. Por ejemplo, si la base tiene cinco lados, hablaremos de un prisma pentagonal.
- Caras laterales: son los paralelogramos que separan la base inferior de la superior y conectan cada lado de la base inferior con el lado correspondiente de la base superior.
- Altura: Es la distancia perpendicular que se halla separando las dos bases. En prismas rectos coincide con la longitud de cada arista lateral.
- Aristas: Cada uno de los lados de los polígonos que forman las bases son llamados aristas de la base. Y cada uno de los lados de las caras laterales de forma individual es llamado arista lateral. En conjunto, las aristas definen la «estructura» del prisma.
- Vértice: Cada una de las puntas donde se encuentran varias aristas se llama vértice. En un prisma, en cada vértice se encuentran tres caras.
Geometría y notación de un prisma: suele representarse nombrando primero la base inferior y luego la superior. Por ejemplo, en un prisma pentagonal se pueden etiquetar los vértices de la base inferior como A, B, C, D, E y los de la base superior como F, G, H, I, J, de modo que cada arista lateral une un par de vértices correspondientes (A con F, B con G, etc.). Esta notación es muy útil para describir aristas, caras y secciones cuando resuelves problemas.
Clasificación de los prismas
Un prisma se clasifica según varias características: la forma de sus bases, la longitud de sus lados, la orientación de sus caras laterales y los ángulos internos de sus bases. Entender estas clasificaciones te ayudará a identificar qué tipo de prisma aparece en un ejercicio y qué fórmula debes aplicar.
Un prisma se clasifica según las propiedades de sus bases en:
- Regular: Es aquel cuya base es un polígono regular, es decir, un polígono que tiene todos sus lados de igual longitud y también sus ángulos internos son de la misma medida. En un prisma pentagonal regular, las dos bases son pentágonos regulares.
- Irregular: Es aquel cuyas bases están representadas por polígonos de lados y ángulos internos diferentes entre sí. Cada lado puede tener una medida distinta, y los ángulos interiores no tienen por qué ser iguales.
Según el número de lados que tienen sus bases se clasifican en:
- Triangular 3 lados
- Cuadrangular 4 lados
- Pentagonal 5 lados
- Hexagonal 6 lados
- Heptagonal 7 lados
- Octogonal 8 lados
- Eneágono o nonágono 9 lados
- Decágono 10 lados…, y así sucesivamente.
En general, si la base es un polígono de N lados, se hablará de un prisma N-gonal. En el caso concreto que nos interesa, N = 5 y obtenemos el prisma pentagonal.
Según sus caras laterales están clasificados en:
- Prisma recto: Es el que tiene tantas caras laterales como tenga su base. Sus caras laterales son rectangulares (o cuadrados en algunos casos particulares) y las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En estos prismas, la altura coincide con la longitud de cada arista lateral.
- Oblicuos: Un prisma oblicuo no posee perpendicularidad en sus caras laterales con respecto a su base. Sus caras laterales son romboides (paralelogramos inclinados). Tienen como característica particular que su altura (distancia perpendicular entre las bases) no coincide con el valor de sus aristas laterales, que están inclinadas.
Según sus ángulos internos se clasifican en
Cóncavos: Un prisma se puede clasificar como cóncavo cuando sus ángulos internos son mayores a 180°. Debido a su forma irregular, que da la visión de una hendidura hacia dentro del prisma, si lo atravesamos con una recta puede ser cortado en más de un punto. La base en estos casos es un polígono cóncavo.
Convexos: Un prisma es convexo cuando sus ángulos internos miden menos de 180° y, por otra parte, tenemos que al atravesarlo con una recta solo se corta en dos únicos puntos. La mayoría de los prismas que se estudian en geometría elemental, incluido el prisma pentagonal regular, son convexos.
Prisma pentagonal
Ahora sí, estamos listos para conocer más detalladamente al prisma pentagonal. Ya identificadas las características comunes a todo prisma, ahondaremos específicamente en el prisma pentagonal. Un prisma pentagonal es aquel cuyas bases son pentágonos iguales y paralelos y cinco paralelogramos que forman sus caras laterales.
Desde el punto de vista de los poliedros, el prisma pentagonal es un poliedro de 7 caras (2 pentagonales y 5 laterales). Si las bases son pentágonos regulares y las caras laterales son rectángulos, hablamos de un prisma pentagonal regular recto. Si las bases son irregulares o las caras laterales están inclinadas, se considerará irregular u oblicuo según corresponda.
Características
El prisma pentagonal posee las siguientes características fundamentales que conviene memorizar, porque aparecen con frecuencia en problemas de conteo de caras, vértices y aristas:
- Bases. Tiene dos pentágonos paralelos e iguales. Estas bases son congruentes, es decir, idénticas en tamaño y forma, y definen el contorno del prisma.
- Caras. Presenta cinco caras laterales más las dos bases; en total son siete caras. Las caras laterales son paralelogramos (rectángulos si el prisma es recto).
- Altura. Es la distancia comprendida entre las dos bases. En el prisma pentagonal recto coincide con la longitud de cada arista lateral; en el oblicuo, no.
- Vértice. Son las puntas del prisma donde coinciden tres de las caras; en total son 10 vértices, 5 en la base inferior y 5 en la base superior.
- Aristas. Son los segmentos donde se encuentran dos de las caras del prisma; en total tiene 15 aristas: 5 en la base inferior, 5 en la base superior y 5 aristas laterales que las unen.
Según el Teorema de Euler existe una interrelación entre el número de caras (C), las aristas (A) y los vértices (V) de todo prisma cuyos ángulos internos midan menos de 180° (convexos).
Para poliedros convexos se cumple la relación:
V − A + C = 2
Aplicando la fórmula equivalente A = C + V − 2 se puede hallar el número de aristas de un prisma pentagonal:
A = 7 + 10 − 2 = 15
Esta relación es muy útil para comprobar si has contado bien caras, aristas o vértices en un problema. Si sustituyes los datos en la fórmula de Euler y no obtienes 2, hay algún error en el conteo.
Cómo calcular el área de un prisma pentagonal regular
Cuando el prisma pentagonal es regular y recto, tiene sus bases de pentágonos regulares y caras laterales rectangulares iguales. Entonces el cálculo de su área total es especialmente sencillo porque todos los lados de la base miden lo mismo.
En un prisma pentagonal regular trabajamos con estas magnitudes:
- L: medida de uno de los lados del pentágono base.
- ap. (apotema): distancia más corta desde el centro del pentágono a cualquiera de sus lados.
- h: altura del prisma (longitud de las aristas laterales en el prisma recto).
Área total de un prisma pentagonal regular:
Área = 5 · L · (ap. + h)
Esta expresión resume la suma del área de las dos bases más el área lateral:
- Área de una base (pentágono regular): Ab = (5 · L · ap.) / 2.
- Área de las dos bases: 2 · Ab = 5 · L · ap.
- Perímetro de la base: P = 5 · L.
- Área lateral: Al = P · h = 5 · L · h.
Sumando: 2 · Ab + Al = 5 · L · ap. + 5 · L · h = 5 · L · (ap. + h), que es la fórmula anterior. Fíjate en que la clave está en el perímetro de la base, que multiplica tanto a la apotema (para formar las bases) como a la altura (para formar el lateral).
¿Cómo hallar el valor de ap (apotema) de un prisma pentagonal?
La apotema es una variable que no conocemos tan evidentemente como las otras, pero es fundamental para calcular el área de la base cuando el pentágono es regular. Afortunadamente, podemos deducirla a partir del número de lados y la medida de cada lado.
Sabiendo el número de lados (N) y su medida (L), calculamos primero el ángulo central que se forma entre el centro del polígono y dos vértices consecutivos:
θ = 360° / N
Ejemplo: ángulo central de un pentágono regular:
θ = 360° / 5 = 72°.
Seguidamente se halla la apotema usando la trigonometría. Si trazamos un triángulo isósceles que une el centro del pentágono con dos vértices consecutivos, al dividirlo por la altura aparece un triángulo rectángulo cuya base es L/2 y cuyo ángulo agudo es θ/2. En este triángulo, la apotema es el cateto adyacente al ángulo θ/2.
Por tanto, podemos usar:
ap. = (L / 2) / tan(θ / 2)
O escrito como en el texto original:
ap = L / (2 × tang (θ / 2))
Ejemplo detallado: teniendo un prisma pentagonal cuyos lados tienen una medida de 20 cm y 30 centímetros de altura, hallemos su área. Ya sabemos que el valor del ángulo central de un pentágono regular es de 72°. Hallemos su apotema:
θ = 72°
ap = L / (2 × tang (θ / 2))
ap = 20 / (2 × tang (72 / 2))
ap = 20 / (2 × tang (36°))
ap = 20 / (2 × 0,73) (aproximando tang(36°) ≈ 0,73)
ap = 20 / 1,46
ap ≈ 13,69 cm
Ahora sí, contamos con todos los datos para determinar su área total:
Área = 5 × L × (ap + h)
Área = 5 × 20 × (13,69 + 30)
Área = 100 × 43,69
Área ≈ 4369 cm²
Observa que este resultado representa el área total del prisma (lateral + dos bases). En muchos ejercicios te pedirán por separado el área lateral y el área de las bases; basta con usar las fórmulas ya mencionadas:
- Área lateral: Al = 5 · L · h = 5 · 20 · 30 = 3000 cm².
- Área de dos bases: 2 · Ab = 4369 − 3000 = 1369 cm².
Área de un prisma pentagonal irregular
Cuando la base no es un pentágono regular, sino un polígono de cinco lados con longitudes y ángulos distintos, el prisma es un prisma pentagonal irregular. En este caso, el cálculo del área requiere pasos adicionales, porque ya no podemos usar la fórmula del pentágono regular con apotema.
Tomando en cuenta que un prisma pentagonal irregular tiene como base dos pentágonos irregulares, es necesario hallar el área del pentágono irregular (Ab), su perímetro (Pb) y la altura del prisma para luego calcular el área del prisma.
La fórmula del área de un prisma recto pentagonal irregular es:
Área del prisma = 2 · Ab + Pb · h
El área del pentágono irregular base (Ab) se halla mediante el método de triangulación, que significa dividirlo en figuras triangulares más pequeñas para calcular sus áreas y así más fácilmente se obtiene el área total del pentágono sumando todas ellas.
En la práctica, para aplicar el método de triangulación sigues estos pasos conceptuales:
- Unir un vértice del pentágono con los demás (excepto con sus adyacentes) para dividir la figura en tres triángulos.
- Calcular el área de cada triángulo usando una fórmula adecuada (por ejemplo, base × altura / 2 o la fórmula de Herón si conoces las tres longitudes de los lados).
- Sumar las áreas de los triángulos para obtener el área total del pentágono irregular.
El perímetro de un pentágono irregular base (Pb) se halla sumando la medida de sus cinco lados. Este valor es imprescindible para calcular la área lateral, ya que cada cara lateral tiene como base uno de estos lados y como altura la altura del prisma.
Área de un prisma pentagonal oblicuo
La fórmula de cálculo de área para este tipo de prisma es diferente a la del prisma pentagonal recto, porque las caras laterales están inclinadas y ya no forman simplemente rectángulos de base el lado de la base y altura la altura del prisma.
El área de las bases se calcula de igual forma que en el prisma recto (dependiendo de si el pentágono es regular o irregular). La diferencia radica en los laterales por el hecho de ser inclinados.
El área lateral de un prisma pentagonal oblicuo se relaciona con la medida de una arista lateral y el perímetro de la sección recta del prisma.
La intersección de un plano con el prisma que forme un ángulo de 90° con cada una de las aristas laterales es la sección recta del prisma. Es decir, es la base plana que se observa al dividir transversalmente el prisma con un corte perpendicular a las aristas laterales.
Para hallar la representación gráfica de la sección recta de un prisma oblicuo cualquiera, se puede proceder así: colocar la escuadra apoyada en una de sus aristas laterales y, formando un ángulo de 90°, trazar una línea que llegue hasta la arista contigua y así sucesivamente con las otras aristas. Una vez hecho este procedimiento se puede visualizar en el plano esa superficie que constituye la sección recta.
Área = 2 · Ab + Psr · a
Donde Ab es el área de la base, Psr es el perímetro de la sección recta del prisma y a es una arista lateral (la longitud inclinada entre las dos bases).
Para determinar el valor del perímetro de la sección recta basta con hacer escuadra en una de sus aristas a un ángulo de 90°, medir la distancia que se forma desde esa arista hasta donde se intersecta con su arista paralela y sumarla cinco veces. Esa distancia representa el lado de la sección recta, y multiplicada por 5 obtienes Psr en el caso del prisma pentagonal.
Volumen de un prisma pentagonal
Para calcular el volumen de un prisma pentagonal tanto recto como oblicuo se aplica la fórmula general para todo tipo de prisma: multiplicar el área de la base (Ab) por la medida de la altura (h).
Volumen = Ab · h
Si el prisma pentagonal es regular, podemos sustituir Ab por su fórmula específica:
Ab = (5 · L · ap) / 2
Entonces el volumen será:
Volumen = (5 · L · ap / 2) · h
Recordar que en un prisma recto la medida de altura es igual a la medida de la arista lateral, mientras que en un prisma oblicuo la altura del prisma no coincide con la medida de la arista lateral, sea cual sea el tipo de prisma. Es muy importante estar atento a no confundir estos dos conceptos, porque un error aquí cambia completamente el resultado del volumen.
En muchos ejercicios de aplicación se te puede pedir, por ejemplo, calcular cuánta capacidad tiene un recipiente con forma de prisma pentagonal o cuánta cantidad de material se requiere para construirlo. En tales casos:
- Usas el volumen para relacionarlo con capacidades (litros, metros cúbicos, etc.).
- Usas el área total para saber cuánta superficie debe cubrirse con material (cartón, metal, plástico…).
Cómo hacer un prisma pentagonal regular recto
Para construir un prisma pentagonal regular recto en papel o cartulina, es útil conocer primero algunos datos de la geometría del pentágono:
θint = 108° es el ángulo interno que se forma entre dos de los lados del pentágono base (medida fija para una figura pentagonal regular).
L = lado del pentágono
H = altura del prisma
Trazo de la base pentagonal
Antes de comenzar a trazar el prisma se deben definir sus bases. De una manera fácil y no tan técnica te explicaré cómo hacer una figura pentagonal regular utilizando solo regla, escuadra y transportador.
- Traza una línea recta que te servirá de base para comenzar (fig. 1). Procura que la línea sea un poco más larga que la medida que quieres darle a cada lado del pentágono, para trabajar con comodidad.
- Marca la medida que quieres darle a los lados de tu pentágono, línea (a-b) (fig. 2). Esta será la primera arista de la base pentagonal.
- Con ayuda de un transportador, apoyándote en el punto “a” y hacia la izquierda busca el ángulo de 108°. Traza una línea entre “a” y la intersección con el ángulo hallado y sobre ella marca la medida elegida para los lados del pentágono (línea a-c) (fig. 3). Así obtienes el segundo lado.
- Apóyate en el punto b y hacia la derecha realiza el mismo procedimiento anterior para hallar el otro lado (línea b-d) (fig. 4). Recuerda mantener siempre la misma medida de lado L para que el pentágono sea regular.
- Seguidamente apóyate en el punto “c”, siempre buscando un ángulo de 108° y traza la (línea c-e) (fig. 5). Vuelve a marcar la misma longitud L.
- Por último, une los puntos e-d que conforman el lado que falta. Automáticamente debe tener el ángulo de 108° (fig. 6). Si has sido preciso con el transportador y la regla, el pentágono resultará regular.
Esta figura geométrica tiene formas más técnicas y precisas para su trazo (por ejemplo, mediante construcciones con compás basadas en la circunferencia circunscrita), pero aquí te la explico de una manera sencilla utilizando solo herramientas básicas de dibujo.
El éxito de la construcción de tu prisma dependerá en gran medida de la exactitud en el trazo de sus bases. Un pequeño error en el ángulo o en la longitud de un lado puede hacer que luego no encajen bien las caras del prisma.
Y la exactitud en la construcción de tu base pentagonal dependerá de tu habilidad y conocimiento de las herramientas de medición que te sugiero: regla, escuadra y transportador. Tómate tu tiempo para medir bien cada segmento y marcar los ángulos con precisión.
Trazo del prisma
Una vez que tienes la base pentagonal, puedes pasar a diseñar el desarrollo plano del prisma, que es la figura que recortarás y doblarás para armarlo en tres dimensiones.
- Traza una línea recta larga que te servirá de base para comenzar el trazo del desarrollo lateral.
- Sobre esa línea marca la medida (L) cinco veces una a continuación de la otra. Estas cinco marcas representan las anchuras de las cinco caras laterales.
- Perpendicular a cada punto traza las líneas verticales que representan las aristas con la medida de (H) altura. De esta forma obtendrás cinco rectángulos contiguos.
- Une todos los puntos con línea recta y te quedará un rectángulo grande dividido en cinco secciones iguales y paralelas; estos representan cada una de las caras laterales del prisma.
- En el rectángulo o cara central, o la de tu preferencia, dibuja o añade la base pentagonal tanto en la parte superior como en la inferior. Es necesario que la hagas primero y, en base a ella, traces el prisma, para asegurarte de que encaje perfectamente.
- Añade pestañas por todos los lados de las caras laterales a excepción de una de ellas. Estas pestañas son las que te servirán para armar el prisma, aplicando pegamento sobre ellas y adhiriéndolas a las caras contiguas.
- Recorta cuidadosamente el desarrollo y aplica pegamento en las pestañas. Antes de doblar, remarca todas las líneas con la parte no cortante de la tijera o con una regla, a fin de darle un poco de quiebre y tener más facilidad para doblar las aristas sin romper el papel.
Este tipo de actividad de construcción es muy útil para estudiar un prisma pentagonal, porque te permite relacionar visualmente el desarrollo plano (las caras y pestañas en el papel) con la figura tridimensional que obtienes al doblarlo. Así comprendes mejor dónde están las bases, cuántas caras laterales tiene, por qué aparecen 15 aristas y cómo se unen los vértices.
Cuando dominas estas nociones —tipos de prismas, elementos (caras, aristas, vértices), fórmulas de área y volumen, y representación gráfica mediante desarrollos— estudiar un prisma pentagonal deja de ser algo abstracto y se convierte en un ejercicio claro, donde cada dato geométrico tiene un significado concreto y visual.